Proprietatea lui Darboux

Proprietatea lui Darboux

Jean Gaston Darboux (1842 – 1917) este una dintre personalitățile proeminnete ale domeniului matematic francez, elaborând, pe lângă multiple memorii și articole de geometrie infinitezimală, două opere monumentale:

• Lecson sur la theorie generale des surfaces et les aplications geometriques du calcul infinitesimal (4 volume publicate între anii 1887 și 1896)
• Lecson sur les systemes orthogonaux et les coordonees curvilignes (publicată în anul 1910)

Pentru a defini proprietatea lui Darboux, presupunem funcția:

$latex \ f : I \rightarrow R\ $

Spunem că funcția de mai sus are proprietatea lui Darboux dacă, pentru orice a, b care aparțin mulțimii I, a este mai mic decât b și pentru orice $latex \gamma$ cuprins între f(a) și f(b) există $latex \ c \in [a,b]$ astfel încât $latex \ f(c)=\gamma$.

În definiția enunțată anterior putem observa faptul că numărul c, dacă există, depinde de $latex \gamma$. Dacă $latex \gamma=f(a)$ sau dacă $latex \gamma=f(b)$, este evident faptul că putem alege c = a, sau c = b. Din acest motiv, în continuare este important de descris cazul $latex \gamma \notin {f(a), f(b)}$, dacă $latex \ f(a) \neq f(b)$.

Dacă funcția $latex \ f : I \rightarrow R$ are proprietatea lui Darboux și dacă există $latex \ a, b \in I$, $latex \ a \leq b$ astfel încât $latex \ f(a) x f(b) \leq 0$, atunci f are cel puțin o rădăcină $latex \ c \in (a,b)$. Dacă funcția $latex \ f : I \rightarrow R$ are proprietatea lui Darboux și nu are rădăcini reale, atunci f are semn constant pe I.

O funcție $latex \ f: I \rightarrow R$ nu are proprietatea lui Darboux dacă există $latex \ a,b \in I$, $latex \ a \leq b$ și există $latex \gamma$ cupris între f(a) și f(b), astfel încât, oricare ar fi $latex \ c \in [a,b], f(c)=\gamma$.

În ceea ce privește interpretarea geometrică a proprietății lui Darboux, descriem următoarele: funcția $latex \ f : I \rightarrow R $ are proprietatea lui Darboux, dacă și numai dacă, alegând pe graficul funcției f două puncte distincte arbitrare A(a,f(a)) și B(b,f(b)), orice dreaptă orizontală care separă punctele A și B va intersecta graficul funcției cel puțin într-un punct C(c,f(c)) care are abcisa cuprinsă între a și b.

O teoremă care stabilește o clasă destul de largă de funcții care au proprietatea lui Darboux este teorema lui Cauchy – Bolzano. Aceasta enunță faptul că orice funcție continuă $latex \ f : I \rightarrow R$ are proprietatea lui Darboux.

În schimb, funcțiile continue nu sunt singurele care au proprietatea lui Darboux.

Vom lua ca exemplu următoarea funcție:

$latex \ f : R \rightarrow R, f(x)= sin\frac{1}{2}, x \neq 0$

$latex \ f : R \rightarrow R, f(x) = \alpha , x = 0$

Presupunem că $latex \alpha \notin [-1,1]$ și alegem pentru început $latex \alpha$ > 1 (cazul $latex \alpha$ < -1 se va trata similar).

Alegând a = 0, $latex \ b=\frac{2}{\pi}$, avem f(a) = $latex \alpha$ și f(b) = 1.

De asemenea, alegând $latex \alpha = \frac{\alpha + 1}{2}$, observăm că f(b) = 1 < $latex \gamma$ < $latex \alpha$ = f(a).

Pentru orice valoare $latex \ c \in (a,b)$, avem $latex \ f(c)=sin\frac{1}{c} \leq 1 < \gamma$ și deci $latex \ f(c) \neq \gamma$.

Așadar, funcția f nu are proprietatea Darboux, presupunerea făcută fiind ca urmare falsă, deci $latex \alpha \in [-1,1]$

Fie a,b $latex \in$ I, a < b. Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și dacă f(a) < 0 și f(b) > 0 (sau f(a) < 0 si f(b) < 0), atunci există cel puțin un punct cuprins între a și b în care funcția se anulează.

Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și nu se anulează în niciun punct din I, atunci f păstrează același semn pe tot intervalul I.

Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și este injectivă, atunci f este strict monotonă.

Sursa: I. Colojoara, : Analiza matematica. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
1983.