Proprietatea lui Darboux

Proprietatea lui Darboux
Darboux

Proprietatea lui Darboux

Jean Gaston Darboux (1842 – 1917) este una dintre personalitățile proeminnete ale domeniului matematic francez, elaborând, pe lângă multiple memorii și articole de geometrie infinitezimală, două opere monumentale:

  • Lecson sur la theorie generale des surfaces et les aplications geometriques du calcul infinitesimal (4 volume publicate între anii 1887 și 1896)
  • Lecson sur les systemes orthogonaux et les coordonees curvilignes (publicată în anul 1910)

Pentru a defini proprietatea lui Darboux, presupunem funcția:

\ f : I \rightarrow R\

Spunem că funcția de mai sus are proprietatea lui Darboux dacă, pentru orice a, b care aparțin mulțimii I, a este mai mic decât b și pentru orice \gamma cuprins între f(a) și f(b) există \ c \in [a,b] astfel încât \ f(c)=\gamma.

În definiția enunțată anterior putem observa faptul că numărul c, dacă există, depinde de \gamma. Dacă \gamma=f(a) sau dacă \gamma=f(b), este evident faptul că putem alege c = a, sau c = b. Din acest motiv, în continuare este important de descris cazul \gamma \notin {f(a), f(b)}, dacă \ f(a) \neq f(b).

Dacă funcția \ f : I \rightarrow R are proprietatea lui Darboux și dacă există \ a, b \in I, \ a \leq b astfel încât \ f(a) x f(b) \leq 0, atunci f are cel puțin o rădăcină \ c \in (a,b). Dacă funcția \ f : I \rightarrow R are proprietatea lui Darboux și nu are rădăcini reale, atunci f are semn constant pe I.

O funcție \ f: I \rightarrow R nu are proprietatea lui Darboux dacă există \ a,b \in I, \ a \leq b și există \gamma cupris între f(a) și f(b), astfel încât, oricare ar fi \ c \in [a,b], f(c)=\gamma.

În ceea ce privește interpretarea geometrică a proprietății lui Darboux, descriem următoarele: funcția \ f : I \rightarrow R are proprietatea lui Darboux, dacă și numai dacă, alegând pe graficul funcției f două puncte distincte arbitrare A(a,f(a)) și B(b,f(b)), orice dreaptă orizontală care separă punctele A și B va intersecta graficul funcției cel puțin într-un punct C(c,f(c)) care are abcisa cuprinsă între a și b.

O teoremă care stabilește o clasă destul de largă de funcții care au proprietatea lui Darboux este teorema lui Cauchy – Bolzano. Aceasta enunță faptul că orice funcție continuă \ f : I \rightarrow R are proprietatea lui Darboux.

În schimb, funcțiile continue nu sunt singurele care au proprietatea lui Darboux.

Vom lua ca exemplu următoarea funcție:

\ f : R \rightarrow R, f(x)= sin\frac{1}{2}, x \neq 0

\ f : R \rightarrow R, f(x) = \alpha , x = 0

Presupunem că \alpha \notin [-1,1] și alegem pentru început \alpha > 1 (cazul \alpha < -1 se va trata similar).

Alegând a = 0, \ b=\frac{2}{\pi}, avem f(a) = \alpha și f(b) = 1.

De asemenea, alegând \alpha = \frac{\alpha + 1}{2}, observăm că f(b) = 1 < \gamma < \alpha = f(a).

Pentru orice valoare \ c \in (a,b), avem \ f(c)=sin\frac{1}{c} \leq 1 < \gamma și deci \ f(c) \neq \gamma.

Așadar, funcția f nu are proprietatea Darboux, presupunerea făcută fiind ca urmare falsă, deci \alpha \in [-1,1]

Fie a,b \in I, a < b. Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și dacă f(a) < 0 și f(b) > 0 (sau f(a) < 0 si f(b) < 0), atunci există cel puțin un punct cuprins între a și b în care funcția se anulează.

Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și nu se anulează în niciun punct din I, atunci f păstrează același semn pe tot intervalul I.

Dacă funcția f are proprietatea lui Darboux și este injectivă, atunci f este strict monotonă.

Sursa: I. Colojoara, : Analiza matematica. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
1983.

persoane au considerat acest articol util. Votează dacă ți-a fost de ajutor.