Mulțimi. Operații cu mulțimi

O mulţime este o colecţie de obiecte distincte pe care le numim elemente. Mulțimea poate fi redată în 3 moduri: prin diagrama Venn-Euler, scriind elementele între două acolade sau cu ajutorul unei proprietăți ce caracterizează elementele mulțimii.

Mulțimi. Operații cu mulțimi

Orice mulțime este formată din elemente. Putem da orice nume oricărei mulțimi. Cele mai simple nume care pot fi date unei mulțimi sunt literele majuscule: A, B, C, D, ... Tot astfel, fiecărui element al unei mulțimi i se poate da un nume, care poate fi oricare. Cele mai simple nume care pot fi date unui element sunt literele minuscule: a, b, c, d, ...

Pentru a putea vorbi despre mulțimea cifrelor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, le-am enumerat.

Ne putem rezuma numai la enumerarea lor atunci când ne referim la mulțimea lor, dar, pentru ascoate în evidență faptul că este vorba de o mulțime, le punem între acolade:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Dacă vrem să punem în evidență literele din alfabetul limbii române cu ajutorul cărora este alcătuit cuvântul elev, enumerăm literele distincte din acest cuvânt și formăm mulțimea {e, l, v}.

Litera e, care apare în această mulțime, este prima și a treia literă din cuvântul elev.

De aici reținem că, într-o mulțime orice element apare o singură dată.

Cu ajutorul scrierii

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

scoatem în evidență faptul că notația A este numele mulțimii cifrelor, și citim „A este mulțimea cifrelor”.

Analog, prin

B = {e, l, v}

scoatem în evidență faptul că notația B este numele literelor e, l, v și citim „B este mulțimea literelor e, l, v”.

Ordinea în care considerăm elementele unei mulțimi este oarecare, deoarece interesează numai faptul că anumite elemente alcătuiesc o mulțime. De aceea, mulțimea {1, 2, 3} o mai putem scrie {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

Mulțimile despre care am vorbit, până în prezent, se numesc mulțimi finite. Există însă și mulțimi înfinite. De exemplu: mulțimea numerelor naturale {0, 1, 2, ..., n, ...}, pe care o vom nota cu N, este infinită. La fel, mulțimea numerelor naturale {1, 2, 3, ..., n, ...}, pe care o vom nota cu N*, este infinită

Să considerăm mulțimea C a elevilor din clasa noastră. Mulțimea C se poate scrie enumerând efectiv elementele sale, adică indicând numele tuturor elevilor. Mulțimea C se mai poate scrie și ținând seama de proprietatea conform căreia fiecare element al mulțimii C este elev al clasei noastre. Această proprietate este o proprietate caracteristică tuturor elementelor mulțimii C. Ea nu este adevărată pentru nici un alt element care nu aparține mulțimii C.

Mulțimea C se mai poate scrie astfel:

{x} x este elev al clasei noastre}.

Pentru a arăta că notația C este numele mulțimii elevilor din clasa noastră, scriem:

C = {x} x este elev al clasei noastre}.

Citim: „Mulțimea C este mulțimea elementelor x, astfel încât x este elev al clasei noastre”.

Alt exemplu:

Știm că mulțimea cifrelor, pe care am notat-o cu A, este următoarea: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Spunem că am scris mulțimea A enumerând elementele sale.

Această mulțime se mai poate scrie ținând seama de o proprietate caracteristică a elementelor sale, în felul următor:

{x} x este cifră}.

Deci A = {x} x este cifră}, ceea ce citim: „A este mulțimea elementelor x, astfel încât x este cifră”.

Simbolurile ∈, ∉

Fie mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Citim această frază astfel: „Fie mulțimea A care este mulțimea cifrelor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9”.

Pentru a arăta că 3 este un element al mulțimii A scriem

3 ∈ A

și citim „3 aparține lui A”.

Fie mulțimea B = {e, l, v}.

Deci e ∈ B. Faptul că a nu aparține lui B se arată scriind a ∉ B și citim „a nu aparține lui B”.

Alte exemple:

Fie: M = {a, b, c, d}.
a ∈ M, adică a aparține lui M;
b ∈ M, adică b aparține lui M;
e ∉ M, adică e nu aparține lui M;
f ∉ M, adică f nu aparține lui M.

Fie mulțimea M = {n | n ∈ N, 1 < N < 5}. Citim această frază astfel: „Fie mulțimea M care este mulțimea acelor n astfel încât n este un element al lui N și n este mai mare decât 1 și mai mic decât 5”.

Această mulțime a fost scrisă ținând seama de o proprietate caracteristică a elementelor mulțimii M: fiecare din elementele acestei mulțimi este număr natural mai mic decât 5 și mai mare decât 1.

Mulțimea M mai poate fi scrisă enumerând elementele sale, adică astfel:

M = {2, 3, 4}.

Exercicțiu rezolvat

Să considerăm mulțimea:

B = {x | x ∈ N, x < 5}.

Să se scrie această mulțime enumerând elementele sale.

Răspuns: B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Diagrama Venn-Euler

Deoarece ordinea în care considerăm elementele unei mulțimi este oarecare, putem să așezăm oricum pe foaie o hârtie, dar atunci nu le mai prindem între acolade, ci le înconjurăm cu o linie închisă. De exemplu:

B = {c, o, ș}

se reprezintă ca în figura 1. O astfel de figură poartă numele de diagramă Venn-Euler a mulțimii considerate.

Mulțimea vidă

Să considerăm mulțimea elevilor care au vârsta de o lună. Această mulțime nu are nici un element. Mulțimea fără nici un element se numește mulțime și se notează cu Ø. Există o singură mulțime vidă.

Incluziune. Submulțimi

Considerăm mulțimea {0, 4, 7, 9} pe care o notăm cu A și mulțimea {0, 2, 4, 5, 7, 9} pe care o notăm cu B; se constată că orice element care aparține mulțimii A aparține și mulțimii B. În acest caz se spune că mulțimea A este inclusă în mulțimea B sau că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B și aceasta se scrie astfel:

A ⊆ B

și se citește: „mulțimea A este inclusă în mulțimea B” sau că „mulțimea A este o submulțime a mulțimii B”. Dacă A ⊆ B vom scrie și B ⊇ A, ceea ce va fi citit: „mulțimea B include mulțimea A”.

Cu diagramele Venn-Euler, faptul că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B se arată ca în figura 2.

Orice mulțime este propria sa submulțime, adică A ⊆ A. Mulțimea Ø este o submulțime a oricărei mulțimi.

Dacă o mulțime P nu este inclusă în altă mulțime Q, scriem: P ⊈ Q. De exemplu, considerăm mulțimile:

P = {1, 2} și Q = {2, 3, 4}.

Se vede că P ⊈ Q.

Alte exemple:
Fie:

P = {1, 2}; Q = {1, 2, 3, 4}; R = {2, 3, 4}.
P = Q, adică P este o submulțime a lui Q;
P ⊈ R, adică P nu este o submulțime a lui R;
Q ⊇ R, adică R este o submulțime a lui Q.

În cazul în care o mulțime A este o submulțime a unei mulțimi B, dar mulțimea B are cel puțin un element care nu aparține mulțimii A, se scrie A ⊂ B sau B ⊃ A și se spune că A este o submulțime strictă a lui B.

Dacă o mulțime P nu este submulțime strictă a unei mulțimi Q, scriem: P ⊄ Q.

Mulțimi egale

Două mulțimi A și B sunt egale dacă au aceleași elemente.

Aceasta se svrie:

A = B

și se citește: „mulțimea A este egală cu mulțimea B”.

Aceasta înseamnă că mulțimea A este inclusă în mulțimea B și mulțimea B este inclusă în mulțimea A.

De exemplu, mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {3, 1, 2} sunt egale, pentru că au aceleași elemente.

Operații cu mulțimi

Intersecția

Mulțimea elementelor comune mulțimilor A și B (fiecare element comun mulțimilor A și B figurând o singură dată) se numește intersecția mulțimilor A și B.

Această nouă mulțime formată se notează cu

A ∩ B

și se citește „intersecția mulțimilor A și B”.

Exemplu. Dacă A = {1, 2, 3, 4} și B = {2, 4, 6, 8} atunci: A ∩ B = {2, 4}.

Se constată că, fiecare element în parte al mulțimii A ∩ B aparține ambelor mulțimi A și B sau, altfel spus, aparține mulțimii A și mulțimii B.

Într-adevăr, să considerăm elementele mulțimii A ∩ B. Se vede că:

2 aparține și mulțimii A și mulțimii B,
4 aparține și mulțimii A și mulțimii B.

Mai putem scrie:

A ∩ B = {x | x ∈ A și x ∈ B}.

Cu ajutorul diagramelor Venn-Euler, intersecția mulțimilor A și B din exemplul dat arată ca în figura 3. Dacă două mulțimi nu au nici un element comun, intersecția lor este mulțimea vidă. Se spune că două mulțimi sunt disjuncte, dacă intersecția lor este mulțimea vidă.

Exemplu. Dacă A = {1, 3, 5} și B = {2, 4, 6} atunci A ∩ B = Ø și deci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Alt exemplu:

Fie mulțimea: P = {1, 2, 3}; Q = {1, 2, 7, 8}; R = {4, 5}; T = {1, 2}.

Avem

P ∩ Q = {1, 2}; P ∩ T = {1, 2}; Q ∩ R = Ø; R ∩ T = Ø.

Reuniunea

Mulțimea în care se află toate elementele mulțimilor A și B, și numai ale lor (fiecare element comun mulțimilor A și B figurând o singură dată), se numește reuniunea mulțimilor A și B.

Această nouă mulțime formată se notează cu A ∪ B și se citește „reuniunea mulțimilor A și B”.

Exemplu. Dacă A = {1, 2, 3} și B = {2, 3, 4, 5} atunci A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Cu ajutorul diagramelor venn-Euler, reuniunea mulțimilor A și B din exemplul dat arată ca în figura 4.

Se constată că, foecare element în parte al mulțimii A ∪ B aparține cel puțin uneia din mulțimile A și B sau, astfel spus, fiecare element al mulțimii A ∪ B aparține mulțimii A sau mulțimii B.

Într-adevăr, să considerăm elementele mulțimii A ∪ B. Se vede că:
elementul 1 aparține numai mulțimii A;
elementul 2 și 3 aparține și mulțimii A și mulțimii B;
elementele 4 și 5 aparțin numai mulțimii B.

Mai putem scrie

A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}.

Alt exemplu. Fie mulțimea P = {1, 3}; Q = {3, 4, 5}; R = {1, 2, 5}.

P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5}; P ∪ R = {1, 2, 5};
Q ∪ R = {1, 2, 3, 4, 5}.

Diferența

Mulțimea elementelor care aparține mulțimii A, dar care nu aparțin mulțimii B, se numește diferența între mulțimile A și B.

Această mulțime se notează cu:

A – B
sau
A \ B

ceea ce se citește „diferența între mulțimile A și B”.

Exemplu. Dacă A = {1, 2, 3, 4} și B = {2, 4, 6, 8} atunci A – B = {1, 3}.

Se constată că fiecare element al mulțimii A – B aparține mulțimii A, dar nu aparține mulțimii B.

Într-adevăr, să considerăm elementele mulțimii A – B. Se vede că:
1 aparține lui A, dar nu aparține lui B;
3 aparține lui A, dar nu aparține lui B.

Mai putem scrie:

A - B = {x | x ∈ A și x ∉ B}.

Cu ajutorul diagramelor Venn-Euler, diferența între mulțimile din exemplul dat arată ca în figura 5.

Alt exemplu. Se dau: P = {1, 2, 3}; Q = {1, 2}; R = {1, 3, 4, 5}.

Avem: P – Q = {3}; Q – P = Ø; R – Q = {3, 4, 5}; Q – R = {2}.

Operații cu mulțimi - Problemă rezolvată

Să se afle mulțimea X și Y știind că sunt îndeplinite, în același timp, următoarele condiții:
(1) Fiecare (sau oricare) dintre numerele: 2, 3, 4, 7 aparține ambelor mulțimi.
(2) Mulțimile {1, 6, 8} și X sunt disjuncte.
(3) Oricare (sau fiecare) dintre numerele: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 aparține cel puțin uneia din mulțimile X și Y și nu mai există alte numere care să îndeplinească această condiție (condiția 3).

Această problemă mai poate fi formulată și astfel:
Să se afle mulțimile X și Y știind că sunt îndeplinite, în același timp, următoarele condiții:
(1) X ∩ Y = {2, 3, 4, 7},
(2) {1, 6, 8} ∩ X = Ø,
(3) X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}.

Judecăm în felul următor:
Conform condiției (1) fiecare dintre numerele 2, 3, 4, 7 există și în mulțimea X și în mulțimea Y.
1 nu există în mulțimea X, dar datorită condiției (3) trebuie să existe în mulțimea Y.
6 nu există în mulțimea X, dar conform condiției (3) trebuie să existe în mulțimea Y.
8 nu există în mulțimea X, dar conform condiției (3) trebuie să existe în mulțimea Y.

Deci mulțimile sunt:
X = {2, 3, 4, 7}
Y = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}.

Sursa: Editura Didactică și Pedagogică, București 1989 Clasa a-V-a, Prof. univ. dr. C.P. Popovici, Prof. I.C. Ligor, Prof. I.G. Borca