Operații cu numere naturale și relația de ordine în N

Operații cu numere naturale și relația de ordine în N

Pe axa numerelor, din două numere naturale cel mai mare se află la dreapta celui mai mic. Înțelegem prin aceasta că sensul de la numărul mai mic la numărul mai mare este sensul pozitiv al axei numerelor. De exemplu, 5 este mai mare decât 2 și se constată că 5 este la dreapta lui 2, ca în figura 1. To astfel, putem spune că, pe axa numerelor, din două numere naturale cel mai mic se află la stânga celui mai mare.

Înțelegem prin aceasta că sensul de la numărul mai mare la numărul mai mic este opus sensului pozitiv al axei numerelor. De exemplu, 2 este mai mic decât 5 și se constată că 2 este la stânga lui 5, ca în figura 1.

Inegalitatea nestrictă între numere naturale, notată prin a ≤ b, având semnificația a < b sau a = b, este o relație de ordine în N, deoarece are următoarele proprietăți:

1) Oricare ar fi numărul a avem a ≤ a.

Aceasta este proprietatea de reflexivitate a relației de ordine în N.

2) Oricare ar fi numerele naturale a și b, dacă a ≤ b, și b ≤ a atunci a = b.

Aceasta este proprietatea de antisimetrie a relației de ordine în N.

3) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c, dacă a ≤ b și b ≤ c atunci a ≤ c.

Aceasta este o proprietate de tranzitivitate a relației de ordine în N.

Și relația de inegalitate strictă are proprietatea de tranzitivitate, adică:

Oricare ar fi numerele naturale a, b și c dacă a < b și b < c atunci a < c.

Operații cu numere naturale și egalitatea în N

Din 2 = 2 obținem 5 = 5 prin adunarea lui 3 la ambii membri ai egalității 2 = 2. În general:

1) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c, dacă a = b atunci a + c = b + c.

Alfel spus, dacă adunăm același număr natural la numerele naturale care formează cei doi membri ai unei egalități între numere naturale, obținem numere naturale egale.

Din 7 = 7 obținem 3 = 3 prin scăderea lui 4 din ambii membri ai egalității 7 = 7. În general:

2) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a = b, a ≥ c și b ≥ c atunci a - c = b - c.

Altfel spus, prin scăderea unui număr natural din ambii membri ai unei egalități între numere naturale, atunci când scăderile se pot efectua, obținem o egalitate între numere naturale.

Din 4 = 4 și 3 = 3 obținem 7 = 7 prin adunarea membru cu membru a egalității 4 = 4 și 3 = 3. În general:

3) Oricare ar fi numerele naturale a, b, c și d, dacă a = b și c = d atunci a + c = b + d.

Altfel spus, prin adunarea membru cu membru a două egalități între numere naturale, obținem o egalitate între numere naturale.

Din 5 = 5 și 2 = 2 obținem 3 = 3 prin scăderea membru cu membru a egalității 5 = 5 și 2 = 2. În general:

4) Oricare ar fi numerele naturale a, b, c și d astfel încât a = b, c = d, a ≥ c, b ≥ d atunci a - c = b - d.

Altfel spus, prin scăderea membru cu membru a două egalități între numere naturale, atunci când scăderile se pot efectua, obținem o egalitate între numere naturale.

Din 2 = 2 obținem 10 = 10 prin înmulțirea cu 5 a ambilor membri ai egalității 2 = 2. În general:

5) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c, dacă a = b atunci a • c = b • c.

Altfel spus, dacă înmulțim cu același număr natural numerele naturale care formează cei doi membri ai unei egalități între numere naturale, obținem numere naturale egale.

Din 6 = 6 se obține 3 = 3 prin împărțirea cu 2 a ambilor membri ai egalității 6 = 6. În general:

6) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a = b, c ≠ 0 și se pot efectua împărțirile între a și c, pe de o parte, și între b și c, pe de altă parte, atunci a : c = b : c.

Altfel spus, prin împărțirea cu un număr natural a ambilor membri ai unei egalități între numere naturale, atunci când împărțirile se pot efectua, obținem o egalitate între numere naturale.

Împărțirea cu 0 nu se poate efectua, deoarece avem

2 • 0 = 7 • 0, dar nu avem 2 = 7.

Din 8 = 8 și 3 = 3 obținem 24 = 24 prin înmulțirea membru cu membru a egalităților 8 = 8 și 3 = 3. În general:

7) Oricare ar fi numerele naturale a, b, c și d, dacă a = b și c = d atunci a • c = b • d.

Altfel spus, prin înmulțirea membru cu membru a două egalități între numere naturale, obținem o egalitate între numere naturale.

Din 12 = 12 și 4 = 4 obținem 3 = 3 prin împărțirea membru cu membru a egalităților 12 = 12 și 4 = 4. În general:

8) Oricare ar fi numerele naturale a, b, c și d astfel încât a = b, c = d, c ≠ 0, d ≠ 0 și se pot efectua împărțirile între a și c pe de o parte și între b și d pe de altă parte, atunci a : c = b : d.

Altfel spus, prin împărțirea membru cu membru a două egalități între numere naturale, atunci când împărțirile se pot efectua, obținem o egalitate între numere naturale.

Operații cu numere naturale și inegalitatea în N

Din 3 < 5 obținem 7 < 9 prin adunarea lui 4 la ambii membri ai inegalității 3 < 5. Din 2 ≤ 6 obținem 5 ≤ 9 prin adunarea lui 3 la ambii membri ai inegalității 2 ≤ 6. În general:

1) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c pentru care a < b avem a + c < b + c.

De asemenea:

1.1) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c pentru care a ≤ b avem a + c ≤ b + c.

Altfel spus, prin adunarea unui număr natural la ambii membri ai unei inegalități între numere naturale, obținem o inegalitate de același sens între numere naturale.

Din 2 < 6 obținem 1 < 5 prin scăderea lui 1 din ambii membri ai inegalității 2 < 6. Din 3 ≤ 5 obținem 1 ≤ 3 prin scăderea lui 2 din ambii membri ai inegalității 3 ≤ 5. În general:

2) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a < b și a ≥ c, b ≥ c, atunci a - c < b - c.

De asemenea:

2.2) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a ≤ b și a ≥ c, b ≥ c, atunci c - c ≤ b - c.

Altfel spus, prin scăderea unui număr natural din ambii membri ai unei inegalități între numere naturale, atunci când scăderile se pot efectua, obținem o inegalitate de același sens între numere naturale.

Avem 1 < 2. Dar avem și 1 • 3 < 2 • 3.

Nu același lucru se întâmplă dacă în loc de 3 este 0, din cauză că 1 • 0 = 2 • 0. În general:

3) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c pentru care a < b și c ≠ 0 avem a • c < b • c.

De asemenea:

3.3) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c pentru care a ≤ b avem a • c ≤ b • c.

În ultimul caz avem 1 ≤ 2, dar avem și 1 • 0 ≤ 2 • 0.

Altfel spus, prin înmulțirea cu același număr natural, diferit de 0, a ambilor membri ai unei inegalități între numere naturale, se obține o inegalitate de același sens între numere naturale. În cazul inegalității nestricte, nu este nevoie de restricția ca numărul natural cu care se înmulțesc cei doi membri ai inegalității să fie diferit de 0.

Din 2 < 6 obținem 1 < 3 prin împărțirea cu 2 a ambilor membri ai inegalității 2 < 6. Din 10 ≤ 20 obținem 2 ≤ 4 prin împărțirea cu 5 a ambilor membri ai inegalității 10 ≤ 20. În general:

4) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a < b, c ≠ 0 și se pot efectua împărțirile între a și c pe de o parte și între b și c pe de altă parte, atunci a : c < b : c.

De asemenea:

4.4) Oricare ar fi numerele naturale a, b și c astfel încât a ≤ b, și c ≠ 0 și se pot efectua împărțirile între a și c pe de o parte și între b și c pe de altă parte, atunci a : c ≤ b : c.

Altfel spus, prin împărțirea cu un număr natural a ambilor membri ai unei inegalități între numere naturale, atunci când împărțirile se pot efectua, obținem o inegalitate de același sens între numere naturale.

Sursa: Editura Didactică și Pedagogică, București 1989 Clasa a-V-a, Prof. univ. dr. C.P. Popovici, Prof. I.C. Ligor, Prof. I.G. Borca – Operații cu numere naturale și relația de ordine în N